Na criação de seu modelo, Clutter (1963)
utilizou como base uma modificação da equação de produção sugerida por
Schumacher (1939) (equação 1)
em que: V=volume, S=site, B=área
basal e I=idade. Diferenciando esta equação com relação à idade, e
levando em conta que B é também uma função da idade, obtêm-se a
expressão de crescimento (equação 2)
em
que: dV/dI=taxa de variação do volume com respeito à idade ou taxa de
crescimento instantâneo em volume e dB/dI=taxa de variação da área basal
em relação à idade ou taxa de crescimento instantâneo em área basal.
Embora
a equação (2) expresse o a taxa de crescimento em volume, ela tem pouca
aplicação prática porque envolve também a taxa de crescimento em área basal,
informação que em geral não está disponível. Para modificar esta equação de
modo que seja mais facilmente aplicável, uma equação que expresse a relação
entre o crescimento em área basal e idade, site e área basal era necessária. A
partir de análises gráficas de resultados de estudos anteriores, uma
interpretação matemática desta relação foi elaborada, resultando na equação
(3).
em que: B1=área
basal em uma idade inicial. A diferenciação da equação (3) com relação à idade
resulta na expressão de crescimento em área basal (equação 4).
Substituindo a equação (4) na equação (2), e
após algumas simplificações algébricas, obtêm-se a equação de crescimento em
volume (5).
Utilizando a equação de crescimento (4), é
possível obter a equação de produção em área basal (6). Para tal, basta
considerar a equação (4) uma equação diferencial e, após sua solução,
considerar os intervalos de B1 a B2 (da
área basal inicial até uma área basal futura) e I1 a I2 (de uma
idade inicial até uma idade futura). Após esta solução e algumas
simplificações, a equação resultante (6) é uma expressão de projeção da área
basal.
Para a obtenção da equação de produção em
volume, é necessário levar em conta que ln(B) na equação (5) é uma
função da idade, e que sua forma é especificada pela equação (6). Considerando
a equação (5) uma equação diferencial e, após a sua solução, considerando os
intervalos de V1 a V2 (do
volume inicial até um volume futuro) e I1 a I2 (de uma
idade inicial até uma idade futura), a equação resultante (7) é uma expressão
de projeção do volume.
As equações (6) e (7) são a forma estrutural do
modelo de Clutter, mas não são exibidas desta forma no trabalho original de 1963.
Somente no trabalho de Sulivan e Clutter (1972) é que este modelo é apresentado
pela primeira vez desta maneira, com estas simplificações e na forma de duas
equações (a forma estrutural do modelo).
O logaritmo de base “e” foi utilizado para simplificar
várias derivações matemáticas. Segundo Clutter (1963), o uso de ln(Volume)
ao invés de Volume como a variável dependente geralmente é mais compatível
com as pressuposições estatísticas feitas em análise de regressão (linearidade,
normalidade, aditividade e homogeneidade de variância).
A
ideia de Clutter para a criação de modelos de crescimento e produção é, a
partir de expressões de predição, derivar expressões de crescimento e, a partir
destas, originar expressões de projeção considerando idades inicial e futura.
Borders e Bailey (1986) utilizam este procedimento para gerar um modelo
compatível de crescimento e produção. Cordero e Velilla (2004) também
utilizaram este procedimento para criar um modelo não linear de crescimento e
de produção composto por um sistema de equações para Eucalyptus globulus.
Neste trabalho, uma equação não linear para expressar a altura das árvores foi
utilizada. Mais detalhes acerca do desenvolvimento de modelos compatíveis de
crescimento e de produção podem ser encontradas em Clutter et al. (1983).
É
importante ressaltar que, no desenvolvimento de seu modelo, Clutter não
considerou a variável índice de local (site) como sendo uma função da idade.
Por outro lado, por exemplo, Borders e Bailey (1986) utilizaram a variável
altura dominante ao invés de índice de local. Neste caso, eles consideraram a
altura dominante uma função da idade, e levaram isto em consideração na derivação
de seu modelo.
