sábado, 3 de agosto de 2019

Origem do modelo de Clutter



Na criação de seu modelo, Clutter (1963) utilizou como base uma modificação da equação de produção sugerida por Schumacher (1939) (equação 1)





em que: V=volume, S=site, B=área basal e I=idade. Diferenciando esta equação com relação à idade, e levando em conta que B é também uma função da idade, obtêm-se a expressão de crescimento (equação 2)




em que: dV/dI=taxa de variação do volume com respeito à idade ou taxa de crescimento instantâneo em volume e dB/dI=taxa de variação da área basal em relação à idade ou taxa de crescimento instantâneo em área basal.
Embora a equação (2) expresse o a taxa de crescimento em volume, ela tem pouca aplicação prática porque envolve também a taxa de crescimento em área basal, informação que em geral não está disponível. Para modificar esta equação de modo que seja mais facilmente aplicável, uma equação que expresse a relação entre o crescimento em área basal e idade, site e área basal era necessária. A partir de análises gráficas de resultados de estudos anteriores, uma interpretação matemática desta relação foi elaborada, resultando na equação (3).





em que: B1=área basal em uma idade inicial. A diferenciação da equação (3) com relação à idade resulta na expressão de crescimento em área basal (equação 4). 




Substituindo a equação (4) na equação (2), e após algumas simplificações algébricas, obtêm-se a equação de crescimento em volume (5).




Utilizando a equação de crescimento (4), é possível obter a equação de produção em área basal (6). Para tal, basta considerar a equação (4) uma equação diferencial e, após sua solução, considerar os intervalos de B1 a B2 (da área basal inicial até uma área basal futura) e I1 a I2 (de uma idade inicial até uma idade futura). Após esta solução e algumas simplificações, a equação resultante (6) é uma expressão de projeção da área basal.





Para a obtenção da equação de produção em volume, é necessário levar em conta que ln(B) na equação (5) é uma função da idade, e que sua forma é especificada pela equação (6). Considerando a equação (5) uma equação diferencial e, após a sua solução, considerando os intervalos de V1 a V2 (do volume inicial até um volume futuro) e I1 a I2 (de uma idade inicial até uma idade futura), a equação resultante (7) é uma expressão de projeção do volume.





As equações (6) e (7) são a forma estrutural do modelo de Clutter, mas não são exibidas desta forma no trabalho original de 1963. Somente no trabalho de Sulivan e Clutter (1972) é que este modelo é apresentado pela primeira vez desta maneira, com estas simplificações e na forma de duas equações (a forma estrutural do modelo).
O logaritmo de base “e” foi utilizado para simplificar várias derivações matemáticas. Segundo Clutter (1963), o uso de ln(Volume) ao invés de Volume como a variável dependente geralmente é mais compatível com as pressuposições estatísticas feitas em análise de regressão (linearidade, normalidade, aditividade e homogeneidade de variância). 
A ideia de Clutter para a criação de modelos de crescimento e produção é, a partir de expressões de predição, derivar expressões de crescimento e, a partir destas, originar expressões de projeção considerando idades inicial e futura. Borders e Bailey (1986) utilizam este procedimento para gerar um modelo compatível de crescimento e produção. Cordero e Velilla (2004) também utilizaram este procedimento para criar um modelo não linear de crescimento e de produção composto por um sistema de equações para Eucalyptus globulus. Neste trabalho, uma equação não linear para expressar a altura das árvores foi utilizada. Mais detalhes acerca do desenvolvimento de modelos compatíveis de crescimento e de produção podem ser encontradas em Clutter et al. (1983). 
É importante ressaltar que, no desenvolvimento de seu modelo, Clutter não considerou a variável índice de local (site) como sendo uma função da idade. Por outro lado, por exemplo, Borders e Bailey (1986) utilizaram a variável altura dominante ao invés de índice de local. Neste caso, eles consideraram a altura dominante uma função da idade, e levaram isto em consideração na derivação de seu modelo.

Referências 


BORDERS, B. E.; BAILEY, R. L. A compatible system of growth and yield equations for slash pine fitted with restricted three-stage least squares. Forest Science, v.32, n. 1, p. 185-201, 1986.

CAMARGOS, J. L. Modelagem do crescimento e produção florestal com número variável de parcelas mensuradas. Diamantina: UFVJM, 2017. 107 p. Dissertação (Mestrado). Programa de Pós-Graduação em Ciência Florestal, Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, Diamantina-MG, 2017.

CLUTTER, J.L. Compatible growth and yield for loblolly pine. Forest Science, v. 9, n. 3, p. 354-371, 1963.

CLUTTER, J. L. et al. Timber management: a quantitative approach. Jon Wiley & Sons, Inc., 1983, 333 p.

CORDERO, R. A.; VELILLA, E. P. A nonlinear growth and yield system of equations for Eucalyptus globulus using multistage methods. The Economics and Management of High Productivity Plantations, Lugo-Spain, Conference Paper, p. 27-30, 2004.

SCHUMACHER, F. X. A new growth curve and its application to timber yield studies. Journal of Forestry, Bethesda, v. 37, p. 819-820, 1939. 

SULLIVAN, A. D.; CLUTTER, J. L. A simultaneous growth and yield model for Loblolly Pine. Forest Science, v. 18, n. 1, p. 76-86, 1972.